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例題１ △ＡＢＣで辺ＢＣの中点をＤとする． ＡＢ＞ＡＣならば∠ＣＡＤ＞∠ＢＡＤ が成り立つことを証明せよ． 解答 Ｂを通りＡＣに平行な直線とＡＤとの交点をＥとする．  △ＡＢＥでＡＢ＞ＢＥであるから ∠Ｅ＞∠Ａ ここで∠Ｅ＝∠ＣＡＤより ∠ＣＡＤ＞∠ＢＡＤ が成り立つ． 例題２ △ＡＢＣで∠Ａの２等分線とＢＣとの交点をＤとする． ＡＢ＞ＡＣならばＢＤ＞ＤＣ が成り立つことを証明せよ． 解答 ＡＣの延長上に点ＥをＡＥ＝ＡＢを満たすようにとる．  ∠Ｅ＝∠Ｂ（∵△ＡＢＤ≡△ＡＥＤ）＜∠ＤＣＥ より，△ＣＤＥで∠Ｃ＞∠Ｅ ∴ ＣＤ＜ＤＥ＝ＢＤ 例題３ 二等辺三角形ＡＢＣの底辺ＢＣ上に点Ｄ，ＢＣのＣを越える延長上に点Ｅを ∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＥとなるようにとる．このときＢＤ＜ＣＥであることを証明せよ． 解答 ＡＤ＜ＡＥである．あたりまえであるが証明する．  ∠ＡＤＢ＞∠ＡＣＢ（∵△ＡＤＣに注目）＝∠Ｂ よりＡＤ＜ＡＢ．・・・@ △ＡＢＣは二等辺三角形より∠ＡＣＢ＜９０°． したがって∠ＡＣＥ＞９０°よりＡＣ＜ＡＥ・・・A @，AよりＡＤ＜ＡＥ （ＢＣの中点をＭとしＤＭとＥＭの長さを比較しても良い） ＡＥ上に点ＦをＡＦ＝ＡＢを満たすようにとる． ∠Ｅ＜∠ＡＣＢ＜∠Ｂ＜∠ＡＤＣ＜∠ＣＦＥ （∵△ＡＢＤ≡△ＡＣＦ） △ＣＥＦで∠Ｅ＜∠Ｆより ＣＥ＞ＣＦ＝ＢＤ 例題４ 線分ＡＢの垂直２等分線ｍに関してＡと同じ側にある点ＰについてＰＡ＜ＰＢが 成り立つことを証明せよ． 解答  ＰＡ＜ＰＣ＋ＡＣ＝ＰＢ 例題５ （１）直線ＸＹの同じ側に２点Ａ，Ｂが与えられている．直線ＸＹ上の点Ｐについて 次が成り立つこをを証明せよ． 点ＰはＡＰ＋ＢＰを最小にする点である ⇔ 点Ｐは∠ＡＰＸ＝∠ＢＰＹを満たす点である 解答  直線ＸＹに関してＢと対称な点をＢ’とする． （→） ＰＢ＝ＰＢ’であるから ＡＰ＋ＰＢ＝ＡＰ＋ＰＢ’ したがって，ＡＰ＋ＰＢを最小にする点ＰはＡＢ’とＸＹの交点である． このとき ∠ＡＰＸ＝∠Ｂ’ＰＹ＝∠ＢＰＹ （←） ∠ＢＰＹ＝∠Ｂ’ＰＹであるから ∠ＡＰＸ＝∠Ｂ’ＰＹ このとき， ∠ＡＰＢ’＝∠ＡＰＸ＋∠ＸＰＢ’＝∠ＸＰＢ’＋∠Ｂ’ＰＹ＝∠ＸＰＹ＝１８０° したがって３点Ａ，Ｐ，Ｂ’は一直線上にあるので点ＰはＡＰ＋ＰＢを最小にする点である． （２）直線ＸＹの反対側に２点Ａ，Ｂが与えられている．直線ＸＹ上の点Ｐについて 次が成り立つこをを証明せよ． 点Ｐは│ＡＰ−ＢＰ│を最大にする点である ⇔ 点Ｐは∠ＡＰＸ＝∠ＢＰＸを満たす点である 解答 直線ＸＹに関してＢと対称な点をＢ’，ＡＢ’の延長とＸＹとの交点をＰ’とする．．  （→） ３点Ａ，Ｂ’，Ｐが一直線上になければ │ＡＰ−ＢＰ│＝│ＡＰ−Ｂ‘Ｐ│＜ＡＢ’ また │ＡＰ’−ＢＰ’│＝│ＡＰ’−Ｂ‘Ｐ│＝ＡＢ’ したがって，点ＰがＰ’のとき│ＡＰ−ＢＰ│は最大になり，このとき ∠ＡＰ’Ｘ＝∠ＢＰ’Ｘを満たす． （←） 点Ｐが∠ＡＰＸ＝∠ＢＰＸを満たすとき ∠ＡＰＸ＝∠Ｂ’ＰＸ したがって，３点Ａ，Ｂ’，Ｐは一直線上にある． このとき，点Ｐは│ＡＰ−ＢＰ│を最大にする点である． 例題６ △ＡＢＣの辺ＡＢの中点をＤ，辺ＡＣの中点をＥとする．このとき ＡＢ＞ＡＣ → ＢＥ＞ＣＤ が成り立つことを証明せよ． 解答 辺ＢＣの中点をＦ，△ＡＢＣの重心をＧとする．  △ＡＢＦと△ＡＣＦに注目すればＡＢ＞ＡＣより ∠ＡＦＢ＞∠ＡＦＣ ・・・@ △ＧＦＢと△ＧＦＣで@より ＧＢ＞ＧＣ ∴ＢＥ＞ＣＤ 例題７ ＡＢ＝ＡＣの二等辺三角形ＡＢＣで辺ＡＢ上に点Ｄ，辺ＡＣのＣを超える延長上に点ＥをＢＤ＝ＣＥを満たすように とる．このときＤＥ＞ＢＣであることを証明せよ． 解答  ∠ＡＥＢ＜∠ＡＣＢ＝∠ＡＢＣ＜∠ＡＢＥ したがって，△ＤＢＥと△ＣＥＢにおいて ＢＥ＝ＢＥ，ＢＤ＝ＥＣ，∠Ｂ＞∠Ｅより ＤＥ＞ＢＣが成り立つ． 解答  図で，△ＰＢＣ＋△ＰＣＡ＋△ＰＡＢ＝△ＡＢＣ が成り立つ． Ｐが線分ＥＦの下にあるから △ＰＢＣ＜△ＡＢＣ／２ ∴ △ＰＢＣ＜△ＰＣＡ＋△ＰＡＢ ∴ ｘ＜ｙ＋ｚ ｙ＜ｚ＋ｘ，ｚ＜ｘ＋ｙも同様． ２．△ＡＢＣの底辺ＢＣの３等分点をＤ，Ｅとするとき， ∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＥ＝∠ＥＡＣ ・・・@ となるようなことは決して起こらないことを証明せよ． 解答  @を満たすと仮定する． ＡＤの延長上に点ＦをＡＤ＝ＤＦを満たすようにとる． このとき四角形ＡＢＦＥは平行四辺形および仮定より ＡＥ＝ＢＦ＝ＡＢ がなりたつ．したがって，ＤはＡからＢＣに降ろした垂線の足． 同様にＡＤ＝ＡＣであるから，ＥはＡからＢＣに下ろした垂線の足となり， ＤとＥが一致し矛盾． ３．△ＡＢＣ内に１点Ｐを取る．このとき次の不等式が成り立つことを証明せよ． （１） ＰＢ＋ＰＣ＜ＡＢ＋ＡＣ （２） ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ＜ＡＢ＋ＢＣ＋ＣＡ＜２（ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ） 解答  （１）図で ＰＢ＋ＰＣ＜ＰＢ＋ＰＤ＋ＤＣ＝ＢＤ＋ＤＣ ＜ＡＢ＋ＡＤ＋ＤＣ＝ＡＢ＋ＡＣ （２）  ＢＣ＜ＰＢ＋ＰＣ ＣＡ＜ＰＣ＋ＰＡ ＡＢ＜ＰＡ＋ＰＢ および ＰＢ＋ＰＣ＜ＡＢ＋ＡＣ ＰＣ＋ＰＡ＜ＡＢ＋ＢＣ ＰＡ＋ＰＢ＜ＢＣ＋ＣＡ の辺々加えることにより求める不等式を得る． ４．１辺の長さがａである正三角形ＡＢＣの辺ＡＣ，ＢＣの中点をそれぞれＭ，Ｎとする．辺ＡＢ上の 任意の点をＰとするとＰＭ＋ＰＮ≧ａであることを証明せよ． 解答  ＡＢに関してＭと対称な点をＭ’とすれば，ＰＭ＋ＰＮの最小値はＭ’Ｎ． また，四角形Ｍ’ＮＣＡは平行四辺形であるからＭ’Ｎ＝ａ |